割补法在高中立体几何解题中的应用分析

作者:高博扬 来源:考试周刊 2019年44期
  摘 要:高中数学中的立体几何是一门逻辑性和实用性都很强的科目,对于高中生而言,学习起来是比较吃力的,因此,高中生要懂得灵活运用数学中的各种方法来研究题目并使问题最终得到解决。割补法就是立体几何中一种非常实用的解题方法,学生可以利用割补几何体的方法来找出已知的几何体和未知几何体之间的内在联系。割补法是解决空间问题最常用的方法之一,掌握好这种几何方法对于学生的学习来说有着非常重要的帮助。本文分析探究了学生在高中立体几何学习中割补法的应用,希望对高中生立体几何解题能力的提升提供一定的参考和建议。
  关键词:割补法;高中;立体几何;解题
  割补法就是对某一图形进行分割和补充,使其转化为简单或者比较特殊的图形,以方便研究和解题的方法。目前在高中立体几何推证棱锥体积公式以及证明棱柱的侧面积公式等模块中已经得到了广泛的应用。学生如果可以运用好这种方法,就可以将立体几何中一些较为复杂的问题转化为比较简单直观的问题,从而使论证以及运算的过程变得更为简单。以下通过一些具体的问题进行阐述。
  一、 补形法
  补形法就是把已知的几何体补充成为一个新的几何体,再对新的几何体进行分析研究,从而使问题得到解决。
  (一) 构造正方体
  正方体比较规整,也方便计算和证明,高中生在解立体几何的过程中,可以将复杂的图形转换为正方体,这样就会使解题的过程更加简单了。
  例1 如图1所示,过正方形ABCD的顶点A作面AC⊥A,设AP=AB,则面PAB和面PCD所成的二面角大小为多少?
  学生可以这样分析:这道题目可以将图形补充成一个正方体,设这个正方体为ABCDPQRS,如图1所示那么求二面角就是求正方体的侧面ABQP与对面角PQCD所成的角,这个角为45°,因此,我们所求的二面角大小就是45°。
  (二) 补台体为椎体
  台体是由椎体截得的,因此台体和椎体的特征和性质有着很多的关联,当学生遇到台体中一些较为复杂上的问题时,就可以将台体补充为椎体,从而使问题简化。
  例2 已知三棱台ABCA′B′C′的侧面A′C′CA为梯形,梯形的底角互余,且侧面与底面互相垂直,
  CA⊥CB,求证:三棱台的其他两个侧面也相互垂直。
  学生会这样思考:如果三棱台的侧面B′BCC′垂直于面A′ABB′,如图2所示那么就需要证明这两个面所成的角是直二面角或者直接用面面垂直的判定定理,不过凭借原图很难证明,因此可以把三棱台转化为三棱锥PABC
  证明:由于三棱台侧面A′C′CA的底角互余,因此∠APC=90°,也就是AP⊥CP.
  ∵面A′C′CA与底面ABC垂直,CA⊥CB,
  ∴CB⊥面APC,PA面PAC,∴CB⊥AP.
  ∴AP⊥面BCP,PA面PAB,
  ∴面PAB⊥面PBC,因此面B′BCC′垂直于面A′ABB′.
  二、 分割法
  分割法就是把几何体分成若干部分,通过整体和部分的联系解决问题。
  例3 已知正四面体的棱长为a,求它内部任意一点P到各个面的距离之和。
  如图3所示,连接AP、BP、CP、DP,将正四面体分割成四个三棱锥:三棱锥PABC、PBCD、PABD、PACD,设P到各个面的距离为h1、h2、h3、h4,每个面的面积为S1、S2、S3、S4,S1=S2=S3=S4,那么这几个棱锥的体积分别表示为:13Sh1、13Sh2、13Sh3、13Sh4,正四面体的体积表示
  为69aS,
  ∴13Sh1+13Sh2+13Sh3+13Sh14=
  69aS,
  ∴h1+h2+h3+h4=63a
  例4 已知三棱锥PABC中,AP=4,BP=CP=2,∠BPA=∠CPA=∠CPB=60°,则三棱锥P-ABC的体积是多少?
  对于这道题目,学生绘制图4的图像,分析這几种情况:
  (1)取BC的中点为D,连接DA和DP,过P作HP⊥DA,易证△ABC的垂足为H,则三棱锥PABC的高为HP,由棱锥体积公式V=13S△ABC·HP可算出三棱锥PABC的体积。
  (2)利用直接面解题,面PAD为直接面,则三棱锥PABC的体积表示为PABC=13S△PAD·BC,那么只需求出BC和直接面PAD就可以解出这道题目。
  三、 割补法
  割补法就是将几何体先补充成一个比较特殊的几何体,再将这个特殊的几何体分割为若干部分。
  (一) 从“形上割补”
  例5 设m、l为两条直线,α为一个平面,那么以下命题正确的选项为( )
  A. 若l⊥m,ma,则l⊥α
  B. 若l⊥α,l∥m,则m⊥α
  C. 若l∥α,ma,则1∥m
  D. 若l∥α,m∥a,则l∥m
  学生拿到题目后,可以绘制一个正方体,并在图中标出条件,如图5,再分析:这道题目以符号语言出题,在判断正误的时候,仅凭对线线以及线面之间的位置关系是很难解决问题的,需要将符号语言转换成图形,再对图像进行分析研究,学生要通过画图,将选项中所有的条件放在正方体模型中,从而判断出选项的正误。如上图所示。
  (二) 从“量”上割补
  例6 如图6,已知面BCD⊥AB,BC⊥CD,那么有哪些线和面垂直、面和面垂直?
  图6
  这道题目是高三学生第一轮复习中线线垂直、线面垂直以及面面垂直的典型例题,但很多学生在解题的时候答案并不完整,其实是由于学生没有从本质上了解图像的特点。
  在具体的学习过程中,学生要根据图中的垂直关系进行联想,比如构建正方体,如图7,再进行解题,学生通过对正方体中六个面与十二条棱的观察,可以得出以下结论:
  棱AA1、BB1、CC1、DD1和上下底面相互垂直,棱AD、BC、B1C、A1D1和左右两个面垂直,棱AB、CD、C1D1、A1B1与前后两个面垂直。
  四、 结束语
  通过上述的例题可以看出,在几何的学习和解题中运用割补法,学生可以将一些较为复杂难以下手的几何体转换成简单的几何体,从而简化了解题的思路和过程。高中生如果能够掌握好割补法,在解题的过程中对题目进行充分的分析,就能找到一些十分巧妙的解题方法,使解题变得更加简单。对于高中生而言,掌握割补法有利于将自身的学习兴趣充分激发出来,促进自身思维能力以及创新能力的提升,可以帮助学生全面健康的发展。因此,高中生在立体几何的学习中,要灵活地运用割补法,不断提升自身的逻辑思维能力以及空间想象能力,从整体上提升数学能力。
  参考文献:
  [1]罗惠民.割补法在高中立体几何解题中的应用研究[J].大科技,2017(2):27-28.
  [2]方清.割补法在高中立体几何解题中的应用[J].中学数学教学,2013(5):43-45.
  [3]赵保铎.割补法在立体几何解题中的应用[J].甘肃教育,1994(9).
  作者简介:高博扬,山西省太原市,太原市旱西关南二条太原十二中。

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