深入成就深度

作者:李荣佳 来源:考试周刊 2019年55期
  
  摘 要:数学作为一门讲求逻辑思维能力的学科,要求老师带领学生在小学数学中的重难点中寻找突破口,知识的不完整性必然会给学生的认知结构带来影响,从而起不到很好的教学成效。二次函数问题长期以来都是中考数学科目中的重点、难点所在,原因在于二次函数不仅和现代数学关系紧密,而且依托二次函数对函数性态的考查也会加深、加难,通过二次函数与图形的结合可以一并考察不等式、方程、绝对值等多个知识点,这不仅体现了数学体系结构的关联性,也可以看出一个学生对于数学知识的综合应用能力,体现了知识网络交汇设计试题的指导思想。
  关键词:数学;初中;二次函数;数形结合
  二次函数在整个初中学科中都是重要的知识点,教师在开展二次函数教学的过程中,应当充分把握二次函数的难点和重点,引导学生在学习二次函数的过程中,把握相关的解题技巧。
  一、 二次函数教学中重难点的把握
  一般来说二次函数的教学可以划分成三个层次。最低层次是理解二次函数的函数定义,并会用描点法绘画二次函数图像;高一个层次的要求是学会读图指出函数的性质和特点,判断二次函数的开口、极值、最值、对称轴、顶点,并可以通过二次函数的图像求一元二次方程的近似解;最高一个层次是应用要求,可以通过建立二次函数并综合数形结合的思想解决应用问题,并能够将二次函数的思想应用到其他相关问题的解决思路上去。
   而二次函数在考题中的应试变化主要在于:1. 由二次函数定义求字母的取值范围;2. 二次函数的平移、对称问题;3. 二次函数性质的综合应用;4. 二次函数的图像得到系数关系;5. 求解二次函数的解析式;6.
  求解二次函数的最值问题。要解决以上问题要求学生对于二次函数的定义和性质在完全理解的范围上可以理清他们之间的关联和区别,并依据题目要求综合组合使用不同的性质,并要有一定的数形结合的思想,最大限度保证解题过程中思维的灵活性。
  二、 从实例中分析二次函数的教学技巧
   (一) 灵活应用二次函数性质
   从一个例子看起:若二次函数y=ax2+bx-4的图像开口向下,与x轴的交点为(-4,0),(2,0),点A(-3,y1)、点B(2,y2)均在此抛物线线上,则y1与y2的大小关系是
  (  )
  
  A. y1     C.
  y1>y2D. 不确定
   该题中的二次函数只给出了常数项的具体数值,二次项和一次项的系数用字母代替,但是也可以通过题目的描述作出函数的大致描绘出函数曲线。而题目中又说明抛物线与x轴的交点为(-4,0),(2,0),那么可以计算对称轴x=-4+22=-1,得到对称轴为x=-1后就可以推断点
  A(-3,y1)的对称点(1,y1),又因为抛物线开口向下,故当x>-1时,y随x的增大而减小,因1<2,则y1>y2,答案选C。在教学过程中,应该抓住题干的要求和关键词“在抛物线上”“开口向下”等等,引导孩子思考题干给出的条件的目的在于什么,以及给出的条件可以运用到哪些性质上面。通过思考这个问题就不难想出可以先通过计算对称轴再得到A的对称点,再依据开口向下的性质,得到y随x的变化而变化的具体关系,从而得到正确答案。
  (二) 由二次函数的图像确定系数的符号和关系
  二次函数的图像是学习二次函数的关键,读图能力的培养也是学生学习过程中的难点,要找到图像中给出的显式条件并不困难,而重点就在于抓住隐藏在图像深处的隐藏条件。
  从一个例子入手:二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,给出以下几个结论,(1)a>0,(2)c>0,(3)b<0,(4)b2-4abc<0,(5)a+b+c=0,(6)a-b+c<0,其中正確的有    。
   首先,考虑到函数图像的开口方向是由二次系数的正负决定的,当系数为正则开口向上,系数为负则开口向下,则本题系数应为正。其次,看到图像与y轴的交点,若该交点位于x轴上方则c>0,反之c0,因此a-b+c为正数。因此本题应该选(1)(3)(5)。从本题不难发现,由二次函数的图像确定系数的符号和关系的关键点在于找到一个好的突破口,并从这个突破口得到的已知条件逐步击破剩下的未知数,前一个结论可能作为下一个证明的初始条件。我们应该引导孩子不仅从条件中寻找突破口,还要从问题中寻找出题目的提示,明确一条清晰的思路一个个找到未知的数值,随着已知量的不断增加,未知量的不断减少,我们所能做到的事情、能解决的问题也越来越多。
  (三) 培养数形结合的思想
   从一个问题入手:已知方程|x2-4x+3|=m有4个根,求实数m的取值范围。
  题干非常简单,但是出现了绝对值的符号,很多同学一看到绝对值就想要用代数的方法分类讨论,其实这种想法是走窄了。因为相对于分类讨论我们在二次函数的领域有一种更好用的工具可以帮助我们快速解题,那就是函数图像。
  首先我们看到此题并不涉及方程根的具体值,只求根的个数,而求方程的根的个数问题就可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决。也就是说,要求根的个数就是求函数y=|x2-4x+3|与y=m函数图像的交点的个数。首先作出抛物线y=x2-4x+3的图像,而这个图像的绝对值则是将函数图像小于零(位于x轴下方)的部分翻折上去,然后做出y=m的直线。从作好的图像中不难发现,抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标经由x轴翻折后变成(2,1),所以得到m∈(0,1)时两个函数图像存在4处相交,即m∈(0,1)。
  参考文献:
  [1]江勤娟.追问初中学生对概念的类比——以“二次函数(1)”为例[J].数学教学通讯,2018(32).
  [2]周谟铝.从初高中衔接谈初中二次函数的教学[J].当代教研论丛,2018(10).
  [3]张翠林.浅析二次函数与几何图形综合题中动点的存在性[C]∥.教育理论研究(第二辑),2018.
  作者简介:
  李荣佳,福建省泉州市,福建省安溪县慈山学校。

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