试析向量数量积的多角度应用

作者:谈海涛 来源:考试周刊 2019年55期
  
  摘 要:随着我国教育教学改革的深入,中学引入向量成为数学改革的一大特征。向量具有双重性,可表示为几何与代数两种形式,中学相关数学知识在此处交汇,势必深刻影响其他数学分支。通过向量数量的应用不仅可以处理长度与角度计算问题,也可以就位置关系处理相关问题。所以向量数量积被广泛应用于数学各项分支中。
  关键词:向量;数量积;多角度;应用
   一、 平面几何中向量数量积的应用
  平面几何主要涉及长度、位置关系以及角度等问题,利用向量数量积这一工具可巧妙解决这些问题。在题目解答过程中,如果可以充分发挥向量数量积数形结合的优势,必定在很大程度上简化运算,使证明推导更加容易。
  【例1】 在三角形ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,如果a·b=b·c=c·a,证明三角形ABC为正三角形。
  证明:∵BC=a,CA=b,AB=c,
   ∴a·b=|a||b|cos(π-C)=-|a||b|cosC,
  b·c=|b||c|cos(π-A)=-|b||c|cosA,
   c·a=|c||a|cos(π-B)=-|c||a|cosB,
  ∴|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB,
   |a||b|cosC=|b||c|cosA,
  |a|cosC=|c|cosA。
   由余弦定理可得|a|=|c|,同理|b|=|c|,
  所以三角形ABC为正三角形。
   二、 立体几何中向量数量积的应用
  在解决立体几何题目时应用向量数量积可实现空间结构系统代数化,使题目更为直观地呈现在学生面前。
  【例2】 如图,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,底面为菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°。
  (1)证明:C1C⊥BD。
   (2)当CD/CC1的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明。
  证明:(1)∵CC1·DB=CC1·(CB-CD)=CC1·CB-CC1·CD=|CC1|·|CB|cos60°-|CC1|·|CD|cos60°,
  又∵|CD|=|CB|,
   ∴CC1·DB=0,
   ∴CC1⊥DB。
  (2)从(1)可知BD⊥平面CA1,
   ∴BD⊥CA1,
  所以问题等价于证明:CA1⊥C1D时,A1C⊥平面C1BD。
   设CD/CC1=λ时,A1C⊥平面C1BD,令|CC1|=t,
  则|CD|=λt。
   ∵C1D=CD-CC1,CA1=CD+CB+CC1,
  ∴C1D·CA1=(CD-CC1)·(CD+CB+CC1)=CD2+CD·CD+CD·CC1-CC1·CD-CC1·CB-CC21=λ2t2+1/2λ2t2-1/2λt2-t2=t2(3/2λ2-1/2λ-1)·t2=0,
  ∴λ=1或λ=-2/3(舍),
   ∴当CD/CC1=1时,可使A1C⊥C1BD。
   三、 解析几何中向量数量积的应用
  【例3】 设直线l:y=x+b与椭圆C:x2/a2+y2/a2-1=1(a>1)相交于A、B两点,若l过椭圆的右焦点,且以AB为直径的圆过椭圆C的左焦点,求该椭圆C的方程。
  解:由题意可得椭圆C的左焦点为F1(-1,0),右焦点为F2(1,0),且F1A⊥F1B,
   ∵由l过F2,得b=-1,
  ∴l的方程为y=x-1,
   代入椭圆C的方程,得
   (2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0,
  设A(x1,y1),B(x2,y2),则
   F1A·F1B=0,
   ∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,
  即(x1+1)(x2+1)+(x1-1)(x2-1)=0,
   ∴x1x2+1=0。
  ∴2a2-a4/2a2-1+1=0,
   解得a2=2±3。
   ∵a>1,∴a2=2+3。
  ∴椭圆C的方程为x2/2+3+y2/1+3=1。
  在处理解析几何问题时,若遇到以二次曲线的弦AB为直径的圆经过点M这类题目,都能通过“平面几何中直径所对的圆周角为直角”得到∠AMB=90°,也就是MA⊥MB,由此转换成“向量的数量积为零”。
  四、 三角形中向量数量积的应用
  诸如两角差的余弦定理等三角公式,在证明时若应用传统代数法,通常十分烦琐,而向量数量积则能够弥补这一缺陷,简单快速的完成证明过程,并且对于利用向量数量积解决其他三角形题目同样能简化运算,在理解时也相对容易。
  【例4】 已知cosθ+sinφ=-1,sinθ+cosφ=1,求sin(θ+φ)的值。
  解:設m=(cosθ,sinθ),n=(sinφ,cosφ),
   则m2=|m|2=1,n2=|n|2=1,
  mn=cosθsinφ+sinθcosφ=sin(θ+φ)。
   ∵(m+n)2=m2+n2+2mn=2+2sin(θ+φ),
  又∵(m+n)2=(cosθ+sinφ,sinθ+cosφ)2=(-1,1)2=2,
   ∴2=2+2sin(θ+φ),
  ∴sin(θ+φ)=0。
   五、 结束语
  在平面几何、解析几何、立体几何以及三角中,若是均可实现向量数量积的合理有效应用,必定建立起各课程间的内在联系,刺激并恢复学生原本在脑海中建立的认知结构,加深学生认知,提高学习灵活性,并且有利于学生视野的开阔,调动其学习积极性和主动性,促进其创新发展。
  参考文献:
  [1]王伯根.利用平面向量数量积的几何意义巧解一类问题[J].数学之友,2018(5):69-70+72.
  [2]卓晓萍.平面向量数量积的运算策略[J].数学学习与研究,2018(19):125.
  [3]李鑫.“平面向量数量积”的解题教学研究[J].数学教学通讯,2018(30):18-19.
  [4]吴洪生.以问题驱动探究,促学生能力提升——以“平面向量的数量积”复习教学为例[J].中学数学月刊,2018(8):4-8.
  作者简介:
   谈海涛,江苏省常州市,江苏省横林高级中学。

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