三角函数与向量交汇题的求解策略探究

作者:穆妍 来源:考试周刊 2019年71期
  摘 要:就目前全国各地区的数学高考题目来看,题目的类型愈加多样,出题的方式愈加灵活,一些非常具有时代气息的题型被创造出来,如三角函数与向量的交汇题,这类题目形式新颖,背景鲜明,同时考查学生多个领域的知识点,也考查学生对知识的融会贯通能力。因此,本文就重点探讨三角函数与向量交汇题的解题方式,总结一些比较简练实用的经验,以启发学生的解题思路,帮助学生减少失误。
  关键词:高中数学;三角函数;向量;交汇题
  三角函数与向量都是高中数学中的重要知识模块,这两个模块的知识相互交汇,相互渗透,能够产生很多形式新颖,结构新奇的题目,这不仅要求学生有较牢固的基础知识,还要求学生对各个领域的知识点具有较强的理解能力和融会贯通的能力。教师在教授这些领域的知识点时,除了将之视为教学重点内容之外,也应时刻关注高考动向,发现新题型,及时对之进行解析讲授。笔者就三角函数与向量交汇题,结合近年来高考考题动向,对这类题的解题方式进行了总结归纳。
  以下是具体的解题策略:
  一、  三角函数与向量知识点分析
  (一) 三角函数知识点分析
  在学习三角函数的相关内容时,教师应当重点讲述三角函数的基本性质,函数图像的变换和角的变换等,三角恒等变形也不可忽略,学生需要不断加强对这些基本内容的理解与运用能力。通观往年的数学高考题,会发现关于三角函数的基本性质的考察,题型较小,以填空题较为常见,难度偏于中等。主要考查学生对三角函数的基本性质和概念的理解与灵活运用能力。下面例题1就是典型的填空题。为了更好帮助学生在考试过程中避免出现失误,还需要帮助学生了解和掌握三角函数的命题规律以及每种题型的解题技巧,寻找最适合的解答方式。当试卷中出现了未知度数的角之后,首先要寻求的就是转化方式,从已知条件中找到未知角与已知角之间的联系,找到它们之间的条件关系或者数量关系,尝试着将之转化为已知的角度。若遇到的是三角函数的最值问题或者周期变化的问题,就要马上联想到周期恒等公式,将原来的式子转变为三角函数的解析式,这样有助于求解。三角函数的重要特点之一就是其变化形式的多样性和复杂性,其图像也是千变万化的,极富有灵活性。教师在讲解这类题目时,不仅需要一边讲解,还需大致画出其图像,利用数形结合的思想,化难为易,化复杂为简单,化抽象为具体,启发学生的思路,调动学生的探索数学知识的热情,帮助学生更好地理解抽象的知识体系。
  (二) 与向量相关的知识点分析
  在做与向量相关的题目时,需注意将之与普通的数量相区分,向量也表示一种数量关系,但它却兼有“大小”和“方向”,由三要素组成,分别是起点、方向和长度,缺一不可。向量的相关运算法则及运算性质,如三角形法则及其不等式,基本的交换律、结合律以及坐标运算等;向量的数乘运算公式、运算律、向量共线定理、平面向量的数量积等,学生应当将这些基本知识熟练掌握。对于一些基本的向量概念,如零向量的单位长度虽然为0,但它的方向是任意地,而且与任一向量平行;而平面向量又与代数、几何、三角函数等板块的知识点相通,厘清这些概念与定理的基本内容之后,就有助于学生搞清楚向量与代数、几何、三角函数等之间的转化关系,加深对各种知识的理解和贯通能力。
  二、 三角函数与向量交汇题的解题策略分析
  (一) 三角函数平移与向量平移的策略分析
  平移是三角函数与平面向量都会遇到的问题,即使这两个领域涉及的平移可能会各有不同,但是其实质则大同小异。这种类型的题目是将三角函数与向量的平移巧妙地结合在一起了,主要考查学生分析题目、寻找正确思路的综合能力,有的也涉及方程的思想与转化的思想。我们在解这类题时可以將之统一于同一个坐标系统中,通过观察其前后变化的两个图像来找到解题的切入口。在分析解答这类题目时重点应当注意的有:一是图像平移的方向;二是平移的距离。这两点体现的就是图像在平移过程中所对应的向量坐标。另外,结合向量的平移问题,也有考查函数解析式的情况,此时需要厘清平移前后的两个等式之间的关系,如将函数y=f(ωx)按向量a=(h,k)进行平移,那么平移后的函数解析式为y=f[ω(x-h)]-k,有了这个公式,学生在求解这类题目时,可以很方便快捷地列出平移之后的公式。
  就三角函数与向量平移的问题,我们主要关注的是图像的平移方向与距离,以例题1为例,我们将探讨其具体的解题策略。
  例题1:将函数y=sin2x的图像按向量a=(-π/6,-3)平移后,得到函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图像,则φ和B的值依次为    。
  根据题目的具体要求,我们可以找到两种方式:一是根据已知向量a的坐标可以得到等式x=x′+π/6和y=y′+3,将之与题干所给出的已知条件结合即可得到φ和B的具体值;二是由向量的坐标得到图像的两个平移过程,由此可以确定平移后的函数解析方式,再经过对比可以做出选择。
  第一种解题方式:由平移向量知向量平移公式x=x′+π/6和y=y′+3,代入原解析式y=sin2x得到y′+3=sin2(x′+π/6)即得到y=sin(2x+π/3)-3,由此知道φ=π3,B=-3。
  第二种解题方式:由向量a=(-π/6,-3),可以得到图像平移的两个过程,第一次平移,试讲图像向左平移π/6个单位;第二次平移是在第一次平移的基础上向下平移3个单位,由此可得函数的图像为y=sin2(x+π/6)-3,即y=sin(2x+π/3)-3,解答,得出φ=π3,B=-3。
  像平移这类题目,在历年高考真题中,非常容易出现填空题,此类题目切入口小,考查的知识点却全面而深入,解答的关键也是学生特别容易出错的地方,就是确定平移的方向与平移的多少。这类题目能够综合考查学生对知识点的理解能力和贯通能力。

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