浅析“天体运动”考题的破题技巧

作者:林颖亮 庄庆华 来源:考试周刊 2019年92期
  摘 要:“天体运动”是高考常考的内容,但学生做题效果并不理想,个别甚至无从下手破题,为了深刻理解万有引力定律的本质,并且灵活应用定律解决天体运动的问题。高考复习上,应深化学生的认知,遵循学生的认知,连贯性、条理性的帮助学生抓住主要特点。
  关键词:天体运动;破题;开普勒定律;万有引力定律;向心力;圆周运动;重力
  一、 正确认知“开普勒三大定律”
  开普勒三大定律,应引导学生体会到——正视天体本来的运动是椭圆轨迹的,但是这椭圆比较接近正圆;而且由于开普勒第二定律(面积定律),中学阶段为了简化天体的实际复杂运动,让学生更好地理解天体运动,对天体运动的轨迹可近似看成圆形,太阳放置于圆心位置。模型简化后,原本某行星有差别的线速度和角速度都大小不变,即匀速圆周运动。那么,开普勒第三定律就可以表述为“行星绕太阳运动的运动半径的立方与自身公转周期的平方成正比”,不同行星绕同一个中心天体(太阳),则该比值相等。
  【例题1】 (2018安徽一模)已知地球和火星绕太阳公转轨道半径分别为
  R1和R2(公转轨迹近似为圆),若把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率,则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( )
  A. R1R2
  B. R1R2
  C. R2R1
  D. R2R1
  解析:由题干“公转轨迹近似为圆”,可知地球和火星的运动可以看成匀速圆周运动,又因为“地球和火星绕太阳公转”,可知地球和火星是绕同一个中心天体太阳做运动,根据开普勒第三定律R31T21=R32T22知,运动的周期之比T1T2=R31R32,在一个周期内扫过的面积之比为S1S2=πR21πR22=R21R22,因为扫过的面积速率为ST,因此扫过的面积速率之比为R1R2,故B项正确,A、C、D均错误。
  二、 正确理解“万有引力定律”
  (一) 万有引力定律的大小与两物体球心距的平方成反比
  课本或教辅经常写成F=Gm1m2r2,为了让学生正确而深刻理解这个定律,应在课上适度调整下公式F=Gm1m2L2,L为两个质量物体的球心距(或球心与质点距离、两质点间距离)。
  【例题2】 (多选)(2018全国Ⅰ)人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100s时,它们相距约400km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )
  A. 质量之积
  B. 质量之和
  C. 速率之和
  D. 各自的自转角速度
  答案:BC
  思维引导:设两颗中子星的质量分别为m1、m2,做圆周运动的半径分别为R1、R2。由题干可知双中子星存在引力,所以要写正确的万有引力Gm1m2L2才有办法继续做下去,如果写成Gm1m2R21或Gm1m2R22,则题目肯定做错。
  注意:当中心天体不动时,两物体间的距离与做圆周运动的物体的轨道半径r数值上相等。
  (二) 明确“天体运动”的破题核心
  1. 万有引力提供向心力
  当能从题目中判定出运动天体或卫星不与中心天体接触、且做匀速圆周运动时,就可以用“万有引力提供向心力”解题。
  在上面【例题2】中,由题干中找到“每秒转动”可知做圆周运动,万有引力提供向心力,有Gm1m2L2=
  m12πT2R1、Gm1m2L2=m22πT2R2,联立各式解得m1=4π2R2L2GT2,
  m2=4π2R1L2GT2,可得m1+m2=4π2L3GT2,但由于R1、R2未知,无法求出质量之积,故A项错误,B项正确。C、D选项略。
  2. 万有引力提供重力
  ①当能从题目中判定中心天体不自转或者自转很慢时,就可以用“万有引力提供重力”解题;②当能明确了中心天体的半径R,重力加速度g时,也可以用“万有引力提供重力”解题。
  【例题3】 有一星球的密度跟地球密度相同,但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍,则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( )
  A. 14
  B. 4倍
  C. 16倍
  D. 64倍
  本道题字数少,但是信息多。学生不知如何入手。正确思维应是分别设地球与该星球相应的物理量如M1、ρ、g1、R1以及M2、ρ、g2、R2等物理量,从题干中的“忽略其自转影响”可知万有引力提供重力GMmR2=mg,则天体表面的重力加速度g=GMR2,又知ρ=MV=3M4πR3,所以
  M=9g316π2ρ2G3。
  答案:D
  3. 万有引力同时提供向心力与重力
  当能从题目中判定中心天体自转不可忽略,且物体在中心天体表面的非南北两极点时,物体的重力由万有引力提供,同时该物体随中心天体的自转而做匀速圆周运动,所以,万有引力同时提供向心力与重力。
  【例题4】 (2014·新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为( )
  A. 3π(g0-g)GT2g0
  B. 3πg0GT2(g0-g)
  C. 3πGT2
  D. 3πg0GT2g
  解析:物体在地球的两极时,万有引力等于重力,GMmR2=mg0,物体在赤道上时,在赤道上由于物体随地球一起自转,万有引力提供重力与向心力,GMmR2=m2πT2R+mg,以上两式联立解得地球的密度ρ=3πg0GT2(g0-g)。故选项B正确,A、C、D错误。
  天体运动的知识内容都较为抽象、涉及的知识面较为广泛、习题类型多样,学生因没有牢固的知识基础、正确的分析方法,在做天体运动习题时,茫然、惧怕、抵触;然而,只要帮助学生找到题目具体的切入点,掌握了经典题型的破题技巧,难题迎刃而解。
  参考文献:
  [1]余永军.“万有引力”复习中的“双星”“三星”问题[J].中学物理教学参考,2015(18).
  [2]董腾.从恐惧到從容:学习“万有引力”一章的感想[J].中学物理教学参考,2018(6):18.
  [3]朱国莉.关于天体运动问题解题的反思[J].中学物理教学参考,2016(10).
  作者简介:林颖亮,庄庆华,福建省厦门市,厦门市杏南中学。

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